【信息光学】第五章 光学成像系统的频率特性

5.0 物理光学

光学信息：

• 物理层面：频率、振幅、相位
• 感官层面：颜色 -> 色调、亮度
• 宏观感受：对比度、亮度、饱和度、锐度

光波

光波的表达式

平面波：

$$E = E_0e^{-j(wt-kr)}$$

光学参数

振幅

时间频率

空间频率，波长

偏振

• 只有横波才有偏振方向之分，而纵波的震动方向始终与传播方向相同，不存在偏振。
• 对于平面波，其振动方向

成像光学基础

常见光波形式

球面波

复振幅表达式( 距原点 z处的 xOy平面 ): $E(x,y) = \frac{E_0}{z}e^{-j(w \cdot t-k \cdot r)}$

5.1 透镜的成像性质

透镜是用透明物质制成的表面为球面一部分的光学元件，镜头是由几片透镜组成的，有塑胶透镜（plastic）和玻璃透镜（glass）两种，玻璃透镜比塑胶贵。

成像

$U_$

• 成像是指照明一个放置于透镜之前的物体，使其经由透镜在另一位置，出现与物体非常相似的光场强度分布。
• 这个强度分布称之为该物体的像。
• 可以用光屏接收的实际强度分布，称为实像。
• 如果透镜后方的光可等效与透镜前另一个位置发出的，称之为虚像。

理想成像

理想的透镜成像系统，对入射光波在像面上进行还原： 假设输入光波为： $\begin{aligned} U(x,y) &= A_0\sum_{n=1}^{N} e^{jk(x \cos \alpha_n + y \cos \beta_n)} \\ &= A_0 \sum_{n=1}^{N} e^{jk\left( \right)} \end{aligned}$ $U(x,y) = A_0\sum_{n=1}^{N} \delta \left( \frac{x}{\lambda z}-an,\frac{y}{\lambda z}-bn \right)$ 则

受限衍射系统：

• 例题1：

解题思路：

1. 先求透镜理想像的幅度表达式：$\displaystyle U_g(x,y)$
2. 再求得孔径的傅里叶变换。
3. 输出频谱：$\displaystyle U_i(f_x,f_y) = G(f_x,f_y) \cdot H(f_x,f_y)$

• 例题2：

注：这里由于是与z轴夹角，所以代入$\sin \theta$。 光波斜入射引入的位相因子，$e^{jkx_0}$ -> $e^{jk\sin \theta x_0}$

像频谱：是经过出瞳函数进行带通滤波后的物像，必须要有物体的频率成分通过。

注：常考题型，物面、像变、输入光波变化后，分析截止频率的变化。

相干照明系统的传递函数（CTF）

$H_C(f_x,f_y)$

非相干照明系统的传递函数（OTF）

$H(f_x,f_y)$

由自相干定理。

$$H(f_x,f_y) = \frac{P(\lambda d_i f_x, \lambda d_i f_y)}{\iint_{-\infty}^{\infty}P(\xi, \eta)\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\eta}$$

衍射受限系统的传递函数（OTF）

根据物理意义，其可以通过交叠部分面积来求解其传递函数值（自相关）。

例1：衍射受限的非相干OTF的计算 衍射受限的非相干照明情形，其截止频率是相干照明情形下截止频率的两倍。

五、 像差对成像系统传递函数的影响

既影响对比度（振幅），也会影响相位传递。

5.1 广义光瞳函数

系统像差效应集中表现为：

出瞳面上的波前会偏离理想会聚球面波的像面。 以波像差 $w(x,y)$ 描述该像差（光程差），像差产生的位相差： $e^{jkW(x,y)}$

广义光瞳函数： $P(x,y)=e^{jkW(x,y)}P(x,y)$

离焦系统OTF

不需要计算，只需要了解分析的过程，知道离焦像差会带来何种影响。

非相干照明，存在固定分辨极限。

相干照明，不存在固定分辨极限，分辨率随着位相而改变。

$$𝑓_𝑥=𝑥_2/ ×∬_(⤶23−∞)^∞▒〖𝑈_1^′ (𝑥_1,𝑦_1 ) 𝑒^(𝑗𝑘/(2𝑓_1 ) (𝑥_1^2+𝑦_1^2 ) ) 〗 𝑒^(−𝑗𝑘/(𝜆𝑓_1 ) (𝑥_1 𝑥_2+𝑦_1^ 𝑦_2 ) ) ⅆ𝑥_1 ⅆ𝑦_1 𝑈_2=𝑗𝑘𝑓_1∙𝑒^(𝑗𝑘𝑓_1 )∙𝑒^(𝑗𝑘/(2𝑓_1 ) (𝑥_2^2+𝑦_2^2 ) )$$

第七章 全息投影

7.4 制作全息光栅

思路：

1. 先写出两种光波
2. 写出在记录平面上的，两光束的振幅叠加振幅 -> 双光束干涉。
3. 求得平面光强（包含频率）
4. 得到频率项（展开）

$$I(x,y) = 2 + 2 \cos \left[ 2 \pi x \frac{2\sin (\theta/2)}{\lambda} \right]$$

• 记录结果：记录介质透过率函数 与 相干光强 成正比 -> 记录下相干条纹。
• 空间频率：把已知参数代入，求得： $f = \frac{2\sin(\theta / 2)}{\lambda}$

平面波 -> 基元光栅

点光源 -> 基元波带片

把物体看做是很多点源，记录光波为他们在记录介质平面上的相干叠加光波强度。

相关假设：

• 物光：$O(x_o,y_o,z_o)$
• 参考光源：$R(x_r,y_r,z_r)$
• 照明光波：$C(x,y)$

比较近，满足菲涅尔近似 -> 菲涅尔全息图。

注：

1. 物光和参考光，通过菲涅尔衍射到达介质平面
2. 在介质平面上产生相干叠加

$$I(x,y) = |R|^2 + |O|^2 + R_o+O_o^{*}e^{j\frac{2 \pi}{\lambda}\left[ (x-x_r) + (y-y_r) \right]}$$

1. 怎样理解结果？
   结果是：沿着某个方向的平面波，乘上了一个球面波因子，结果是一个与平面波同向的球面波。
   • –> 承载了球面波信息的空间平面波。
   • 相当于一个透镜和棱镜的组合。
2. $z_i<0$ 为发散球面波（实像），否则为会聚球面波（虚像）。
3. 存在放大率问题：
   • 横向放大率：
   • 纵向放大率：z方向比值

几种特殊情形

1. 再现光波与参考光波完全一样时 $x_c,=x_r$

2. x
3. 当参考光和照明光波为平面波，物体是点光源，则物体与成像得到的位置是关于介质平面对称的。 可以得到准确位置；

7.5 傅里叶变换全息图

• 物体和图像的光信息，既表现在它的物体光波中，也蕴含在它的空间频谱内。
• 用全息方法，可以在空域中记录物光波，也可以在频域记录它的频谱。

假设：

• 物光： $O(x,y)$
• 频谱： $G(f_x,f_y)$

注意：

• 可以记录：物频谱信息、物频谱的共轭信息
• 也许共轭信息比物体信息更为重要（光学信息处理）

再现：

• 平面波入射
• 需要使用透镜，进行傅里叶变换

---

1. 几何光学：放大率分
   • 轴向放大率
   • 垂轴放大率
   • 角放大率
2. 含有一次位相因子：一个特定方向的平面波
   一次位相因子： $e^{j2a \pi f_x} , e^{j2b \pi f_y}, e^{j2a\pif_x + f_y}$
3. 球面波：没有传播的优先方向。
4. 球面波的完整性：球面波部分遮挡，其他部分会不会发生改变？
5. 频谱函数平凡的傅里叶：自相关
6. ★ 共轭：位相像差为 $\pi$